\{a_n\}의 첨자 n이 커짐에 따라 a_n이 한없이 가까워지는 값을 말한다.\{ a_n \}의 극한은 다음과 같이 정의한다.\{a_n\}이 실수열일때, 어떤 a \in \Bbb{R}이 있어 모든 \epsilon >0에 대해 N \in \mathbb{N}이 존재하여 n > \mathbb{N}인 모든 n \in \mathbb{N}에 대하여 |a_n -a|<\epsilon 이 성립하면 a를 수열 \{a_n \}의 극한이라고 한다.\{a_n\}이 거리함수 d를 갖는 거리공간 X에서의 수열일 때, 어떤 a \in X가 있어 모든 \epsilon >0에 대해 N \in \Bbb{N}이 존재하여 n \geq \mathbb{N}인 모든 n \in \Bbb{N}에 대하여 d(a_n,a)<\epsilon 이 성립하면 a를 수열 \{a_n \}의 극한이라고 한다.\{a_n\}이 위상공간 T에서의 수열일 때, 어떤 a \in T가 있어 a의 임의의 근방 O에 대해 N \in \Bbb{N}이 존재하여 n \geq \mathbb{N}인 모든 n \in \Bbb{N}에 대하여 a_n \in O가 성립하면 a를 수열 \{a_n \}의 극한이라고 한다.\{a_n\}의 극한이 a일 때 \lim_{n \to \infty} a_n=a로 표기한다.\Bbb{R}은 거리공간이며 거리공간은 위상공간의 한 부분이므로 실수열의 극한의 정의와 거리공간에서의 실수의 극한의 정의는 위상공간에서의 수열의 극한의 정의의 특수한 경우이다.\{a_n\} \to a,\ \{b_n\} \to b과 상수 c \in \Bbb{C}에 대해 다음이 성립한다.\displaystyle \{a_n+b_n\} \to a+b\displaystyle \{ca_n\} \to ca,\ \{c+a_n\} \to c+a\displaystyle \{a_nb_n\} \to ab\displaystyle \{\frac{1}{a_n}\} \to \frac{1}{a}\ \text{if}\ a_n \neq 0, a \neq 0\displaystyle \forall \epsilon>0\ \exists N_1, N_2 \in \Bbb{N}\ \text{s.t.}\ |a_n-a|<\frac{\epsilon}{2}\ \text{if}\ n \geq N_1,\ |b_n-b|<\frac{\epsilon}{2}\ \text{if}\ n \geq N_2\ \Rightarrow\ |(a_n+b_n)-(a-b)| \leq |a_n-a|+|b_n-b|<\epsilon\ \text{if}\ n \geq N_1+N_2\\\displaystyle \therefore \{a_n+b_n\} \to a+b\displaystyle \text{if}\ c=0,\ \text{trivial}.\ \text{if}\ c \neq 0,\ \forall \epsilon>0\ \exists N \in \Bbb{N}\ \text{s.t.}\ |a_n-a|<\frac{\epsilon}{|c|}\ \text{if}\ n \geq N\ \Rightarrow |ca_n-ca|<\epsilon\ \text{if}\ n \geq N\\\displaystyle \therefore \{ca_n\} \to ca\\ \forall \epsilon>0\ \exists N \in \Bbb{N}\ \text{s.t.}\ |a_n-a|<\epsilon\ \text{if}\ n \geq N\ \Rightarrow |(c+a_n)-(c+a)|<\epsilon\ \text{if}\ n \geq N\\\displaystyle \therefore \{c+a_n\} \to c+a\displaystyle \forall \epsilon>0\ \exists N_1, N_2 \in \Bbb{N}\ \text{s.t.}\ |a_n-a|<\sqrt{\epsilon}\ \text{if}\ n \geq N_1,\ |b_n-b|<\sqrt{\epsilon}\ \text{if}\ n \geq N_2 \Rightarrow |(a_n-a)(b_n-b)|<\epsilon\ \text{if}\ n \geq N_1+N_2\\\displaystyle \therefore \lim_{n \to \infty} a_nb_n=\lim_{n \to \infty} ((a_n-a)(b_n-b)+a(b_n-b)+b(a_n-a)+ab)=ab\\\displaystyle \therefore \{a_nb_n\} \to ab\displaystyle \forall \epsilon>0\ \exists N \in \Bbb{N}\ \text{s.t.}\ |a_n-a|<\frac{1}{2}|a|^2\epsilon<\frac{1}{2}|a|^2\ \text{if}\ n \geq N\ \Rightarrow |a_n|>\frac{1}{2}|a|\ \Rightarrow |\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a}|=|\frac{a_n-a}{a_na}|<\frac{2}{a^2}|a-a_n|<\epsilon\ \text{if}\ n \geq N\\\displaystyle \therefore \lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_n}=\frac{1}{a}